Родился 7 ноября 1899 года в деревне Колунец ныне Тетюшского района Татарстана. Получил неполное среднее образование, окончив пять классов. В 1918 году стал в ряды защитников молодой Советской Республики, сражался с белогвардейцами под Воронежем и Царицыном. После гражданской войны работал продавцом в городе Волжске Марийской АССР.

10 марта 1942 года был призван в ряды Красной Армии и направлен на фронт.

17 января 1943 года командир орудия противотанковой батареи 106-й танковой бригады 12-го танкового корпуса 3-й танковой армии Воронежского фронта младший сержант Елисеев М.Г. отличился в бою в районе деревни Татарино Каменского района Воронежской области.

Из наградного листа:

Тов. Елисеев, заменив наводчика, расстреливал в упор колонны вражеской пехоты обозы со снаряжением и продовольствием, расстрелял тяжелый немецкий танк, подпустив его на 25-20 метров.

Тов. Елисеев оставался на боевом посту у панорамы до последнего дыхания, до последнего человека в расчете и погиб смертью героя, доказав преданность социалистической Родине, партии Ленина-Сталина.

Дорого обошлась смерть младшего сержанта Елисеева немецким захватчикам. Сотни трупов немцев и мадьяр полегло на поле боя, десятки обозов остались недвижимы по дороге на деревню Татарино и последним от его снарядов стал недвижимым немецкий танк с десантом автоматчиков».

Очевидцы рассказывали, что утром его тело лежало на лафете. Бои за деревню шли двое суток. Село было освобождено в ночь с 18 на 19 января 1943 года, стоял лютый мороз. Как писал генерал Краснощеков, «пальцы примерзали к винтовке и автомату».

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 июня 1943 года младшему сержанту Елисееву Михаилу Григорьевичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.

Награжден орденом Ленина. Его имя носят улицы в деревне Татарино Каменского района Воронежской области и в городе Волжске Республики Марий Эл, там же установлены мемориальные доски.